ABC 桁DP atcoder

Atcoder Typical DP Contest E - 数

「Atcoder Typical DP Contest E - 数」の解説です。桁DPを使用します。
Feb. 22, 2020, 7:05 a.m.

目次

問題

https://atcoder.jp/contests/tdpc/tasks/tdpc_number

問題文が短いので全文掲載します。

$N$以下の正整数であって、十進法表記したときの各桁の数の和が$D$の倍数であるものの個数を mod 1,000,000,007 で求めよ。

入力

D
N
  • $1 \leq N \leq 10^{10000}$
  • $1 \leq D \leq 100$

出力

N
  • N - 条件を満たす整数の数

入出力例

3
100
33

解説

$N$がとてつもなく大きいですが、桁数で見ると$10000$桁程度なので桁DPで考えます。
各桁の和を取っていくので、計算途中の和が最大で$9 \times 10000$程度になる可能性があり、DPテーブルを作る際にメモリに収まりません。
カウントするのは$D$の倍数のみなので、計算途中の和は随時$D$で剰余をとったものと置き換えても最終結果は変わりません。
このように置き換えることで計算途中の和が最大で$99$に抑えられます。

$0$から$N$までの$D$の倍数を数えると必ず$0$の分かならず$1$以上になるので、最後はその$0$の分のカウントを引いています。

計算量

$$O(10000 \times 2 \times 100)$$

解答

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Int D;
vector<int> N;
#define MOD 1000000007

void input() {
  string n;
  cin >> D >> n;

  for (auto x: n) {
    N.push_back(x - '0');
  }
}

// (整数の最大桁数, 次の数字に制限があるか, 和)
int dp[10002][2][101];

Int solveRec(vector<int> &digits, int k = 0, bool tight = true, int sum = 0) {
  // 整数文字列の最後まで到達
  if (k == digits.size()) {
    return sum % D == 0;
  }
  Int x = digits.at(k);
  Int r = tight ? x : 9; // その桁において最大の場合は次の桁で制限がかかる

  Int res = dp[k][tight][sum];
  if (~res) return res; // DP
  res = 0;
  for (Int i=0; i<=r; i++) {
    res += solveRec(digits, k + 1, tight && i == r, (sum + i) % D);
    res %= MOD;
  }
  dp[k][tight][sum] = res;
  return res;
}

void solve() {
  memset(dp, -1, sizeof(dp));
  Int total = solveRec(N);
  total--; // remove 0
  cout << total << endl;
}

int main() {
  input();
  solve();
  return 0;
}